등비수열 합 공식 유도과정 및 문제풀이활용

등비수열 합 공식 유도과정 및 문제풀이활용

등비수열 합 공식은 수열 문제에서 매우 중요한 역할을 합니다. 이를 통해 수열의 합을 빠르고 정확하게 계산할 수 있으며, 실생활 문제에도 적용이 가능합니다. 이번 포스팅에서는 등비수열 합 공식의 유도과정부터 문제풀이 활용법까지 자세히 다루어보겠습니다.

등비수열 합 공식 유도과정

등비수열 합 공식 유도과정 1: 첫째항부터 n번째 항까지 등비수열 합 표현

등비수열은 초항을 $a$, 공비를 $r$이라고 할 때, 다음과 같이 표현됩니다:
$$
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}
$$
위 식에 공비 $r$을 곱하면:
$$
rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n
$$

유도과정 2: 두 식을 뺀 후 정리

위의 두 식을 뺍니다:
$$
S_n - rS_n = a - ar^n
$$
좌변을 정리하면:
$$
S_n(1 - r) = a(1 - r^n)
$$
따라서 $r \neq 1$일 때:
$$
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
$$
공비가 1인 경우는 모든 항이 동일하므로:
$$
S_n = na
$$

공식 활용

활용 1: 특정 항의 합 계산

예를 들어, 여섯 번째 항부터 열 번째 항까지의 합을 구하는 문제를 살펴봅니다. 기본 공식에서 $n$ 대신 각 항의 번호를 대입하여 차이를 구하면 쉽게 계산할 수 있습니다.

활용 2: 일반항 구하기

등비수열의 일반항은 다음과 같이 표현됩니다:
$$
a_n = ar^{n-1}
$$
이를 통해 첫째항부터 특정 항까지의 합을 구하거나 연속된 항들의 관계를 도출할 수 있습니다.

문제 풀이 (기본)

예제 1: 간단한 합 계산

초항 $a = 2$, 공비 $r = 3$, 항의 개수 $n = 4$일 때:
$$
S_4 = \frac{2(1 - 3^4)}{1 - 3} = \frac{2(1 - 81)}{-2} = 80
$$

예제 2: 특정 항의 값 계산

$a = 1$, $r = 2$일 때, 여섯 번째 항의 값을 구합니다:
$$
a_6 = 1 \cdot 2^{6-1} = 32
$$

문제 풀이 (심화)

예제 1: 원리합계 계산

연초에 100만 원씩 적금하고 이자가 연 5% 복리로 붙는 경우 5년 후의 총액을 계산해봅니다. 이를 등비수열 합 공식으로 풀면:
$$
S_5 = \frac{100(1 - 1.05^5)}{1 - 1.05}
$$
계산 결과 약 $552,564$원이 됩니다.

예제 2: 상환 문제 해결

대출금 1,000만 원을 연 3% 복리로 10년간 상환하는 문제를 도식화하고 초항과 공비를 설정하여 계산하면 총 상환금액을 도출할 수 있습니다.

결론

등비수열 합 공식은 수학적 계산뿐만 아니라 실생활 문제 해결에도 유용합니다. 공식 유도과정을 통해 이해를 높이고, 다양한 문제 풀이를 통해 응용 능력을 키우는 것이 중요합니다. 꾸준히 연습하며 문제 풀이 스킬을 향상시켜 보세요!